Dan NICULA
ELECTRONIC
˘
A DIGITAL
˘
A
Carte de ˆınv˘at¸˘atur˘a 2.0
Editura Universit˘at¸ii TRANSILVANIA din Bra¸sov
ISBN 978-606-19-0563-8
2015
Lect¸ia 5
Diagrame Veich-Karnaugh
5.1 Not¸iuni teoretice
Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) sunt o modalitate de reprezentare grafic˘a a funct¸iilor logice. Pentru o funct¸ie de
N variabile, diagrama corespunz˘atoare are 2
N
c˘asut¸e. Dispunerea c˘asut¸elor se face astfel ˆıncˆat c˘asut¸ele vecine s˘a aib˘a
coduri care difer˘a printr-un singur bit. Din acest motiv, codurile c˘asut¸elor, p e orizontal˘a ¸si vertical˘a sunt ˆın cod Gray,
nu ˆın binar. Codul Gray are proprietatea c˘a dou˘a coduri binare succesive difer˘a printr-un singur bit ¸si este un cod
ciclic.
2 bit¸i 3 bit¸i 4 bit¸i
Cod Binar Cod Gray Cod Binar Cod Gray Cod Binar Cod Gray
B
1
B
0
G
1
G
0
B
2
B
1
B
0
G
2
G
1
G
0
B
3
B
2
B
1
B
0
G
3
G
2
G
1
G
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0
Fiecare c˘asut¸˘a are un num˘ar de c˘asut¸e vecine egal cu num˘arul de variabile de intrare. C˘asut¸ele vecine au un cod
care difer˘a cu un bit fat¸˘a de c˘asut¸a de referint¸˘a. Fizic, pe diagram˘a, c˘asut¸ele vecine sunt adiacente pe orizontal˘a sau
vertical˘a (nu ¸si pe diagonal˘a). Pentru a observa toate c˘asut¸ele vecine, diagramele V-K trebuie considerate atˆat rotite
ˆın jurul axelor orizontale ¸si verticale, cˆat ¸si pliate, a¸sa cum prezint˘a simbolurile grafice din figura 5.1.
Figura 5.1 prezint˘a diagramele V-K pentru 2, 3, 4, 5 ¸si 6 variabile. Se observ˘a marcarea codurilor Gray pe orizontal˘a
¸si vertical˘a, marcarea suprafet¸elor asociate variabilelor ¸si a modului de rotire ¸si pliere a diagramelor.
ˆ
In fiecare c˘asut¸˘a
este marcat codul numeric asociat c˘asut¸ei. De asemenea, sunt marcate cˆateva exemple de c˘asut¸e ˆımpreun˘a cu c˘asut¸ele
vecine din punct de vedere al codurilor (¸si vecine fizic, dac˘a diagramele se rotesc ¸si se pliaz˘a).
Diagramele Veich-Karnaugh (V-K) asigur˘a suportul pentru minimizarea funct¸iilor logice. Minimizarea funct¸ilor
logice (scrierea expresiilor acestora cu un num˘ar minim de litere) determin˘a un cost sc˘azut al implement˘arii lor cu
circuite electronice.
60 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
2) 3) 4)
5) 6)
Figura 5.1 Diagrame V-K pentru 2, 3, 4, 5 ¸si 6 variabile.
Un minterm este un termen produs ˆın care apar toate variabilele de intrare, negate sau ne-negate. Pe o diagram˘a
V-K, un minterm care apare ˆın expresia FCND/SOP este asociat cu o c˘asut¸˘a ce cont¸ine valoarea 1.
Un implicant prim este un termen produs care cont¸ine doar anumite variabilele de intrare, negate sau ne-negate.
Pe o diagram˘a V-K, un implicant prim asociat unei suprafet¸e avˆand toate cˆampurile cu valoarea 1.
Un implicant prim esent¸ial este un implicant prim care acoper˘a ˆın mod unic un cˆamp cu valoarea 1 ¸si este obligatoriu
s˘a fie prezent ˆın expresia minim˘a a funct¸iei.
Minimizarea funct¸iilor logice presupune parcurgerea urm˘atoarelor etape:
1. Se acoper˘a toate c˘asut¸ele cu valoare 1 cu cel put¸in o suprafat¸˘a. Suprafet¸ele sunt dreptunghiulare cu laturi de
dimensiuni puteri ale lui 2 (2
0
= 1, 2
1
= 2, 2
2
= 4, 2
3
= 8, ...). O suprafat¸˘a cont¸ine c˘asut¸e vecine (din punct de
vedere al codurilor asociate acestora).
C˘asut¸ele cu valoarea 1 se acoper˘a cu un num˘ar minim de suprafet¸e, avˆand dimensiune maxim˘a.
2. Din considerarea suprafet¸elor care acoper˘a ˆın ˆıntregime toate c˘asut¸ele cu valoare 1, se obt¸ine expresia minim˘a a
funct¸iei.
O suprafat¸˘a de o c˘asut¸˘a genereaz˘a un minterm ˆın expresia minim˘a a funct¸iei.
O suprafat¸˘a de dou˘a c˘asut¸e genereaz˘a un implicant prim ˆın expresia minim˘a a funct¸iei. Implicantul prim este
un produs al tuturor variabilelor de intrare cu except¸ia celei ce are valoare 0 ˆıntr-o c˘asut¸˘a ¸si valoare 1 ˆın cealalt˘a
c˘asut¸˘a.
La fiecare dublare a suprafet¸ei, din implicantul prim dispare o variabil˘a de intrare (cea care are valoare 1 ˆın
jum˘atate din c˘asut¸ele suprafet¸ei ¸si valoare 0 ˆın cealalt˘a jum˘atate).
O suprafat¸˘a ce acoper˘a jum˘atate din diagrama V-K va genera ˆın expresia final a funct¸iei un ”produs” cu o
singur˘a liter˘a (variabila de intrare care are aceea¸si valoare ˆın toate c˘asut¸ele suprafet¸ei).
5.2. Pentru cei ce vor doar s˘a promoveze examenul 61
3. Pentru determinarea implicantului prim asociat unei suprafet¸e se compar˘a suprafat¸a considerat˘a cu regiunile
definite de fiecare variabil˘a de intrare ˆın parte. Pot exista 3 cazuri:
(a) Suprafat¸a cade integral ˆıntr-o regiune asociat˘a cu o variabil˘a: ˆın acest caz, ˆın implicantul prim se preia
variabila de intrare.
(b) Suprafat¸a cade integral ˆın afara unei regiuni asociate cu o variabil˘a: ˆın acest caz, ˆın implicantul prim se
preia variabila de intrare negat˘a.
(c) Suprafat¸a cade jum˘atate ˆın interiorul unei regiuni asociate cu o variabil˘a, jum˘atate ˆın exteriorul acesteia:
ˆın acest caz, din implicantul prim lipse¸ste variabila de intrare.
Pentru o funct¸ie cu N variabile de intrare, o diagram˘a complet˘a are 2
N
c˘asut¸e cu valori 1 sau 0 (prin lipsa unei
valori se presupune valoarea opus˘a celei ce apare ˆın diagram˘a). Pentru un num˘ar mare de intr˘ari (mai mare decˆat 5)
diagramele pot deveni mari ¸si greu de operat cu ele. Din acest motiv, se poate mic¸sora dimensiunea diagramei V-K
prin introducerea ˆın c˘asut¸e a unor funct¸ii de una sau mai multe variabile de intrare. Variabilele ale c˘aror nume se
reg˘asesc in interiorul diagramelor V-K se numesc variabile reziduu.
Un caz particular ˆıl constituie funct¸iile incomplet definite care au valori indiferente pentru anumite combinat¸ii ale
intr˘arilor.
ˆ
In aceste cazuri, c˘asut¸ele asociate ˆın diagramele V-K vor cont¸ine valoare indiferent˘a, marcat˘a cu X (Engl.
”don’t care”). Pentru act¸iunea de minimizare, valorile indiferente poti fi considerate ca avˆand valori 1 sau 0 astfel
ˆıncˆat s˘a se acopere c˘asut¸ele ce cont¸in 1 cu suprafet¸e cˆat mai mari ¸si cˆat mai put¸ine.
Minimizarea funct¸iilor cu variabile reziduu incomplet definite se realizeaz˘a ˆın urm˘atoarele etape:
• Se consider˘a c˘asut¸ele care au valori logice 1 ¸si cele cu valori indiferente. Se determin˘a formele minime ale
suprafet¸elor definite.
• C˘asut¸ele cu valoare 1 se consider˘a a fi cu valoare indiferent˘a. Se consider˘a c˘asut¸ele care cont¸in aceea¸si funct¸ie
reziduu ¸si cele cu valori indiferente. Implicant¸ii primi rezultat¸i vor fi considerat¸i ˆın conjunct¸ie (AND) cu funct¸ia
reziduu.
• Forma minim˘a a funct¸iei se obt¸ine prin aplicarea funct¸iei OR asupra tuturor implicant¸ilor primi obt¸inut¸i la cele
dou˘a etape anterioare.
•
ˆ
In cazuri particulare, dac˘a funct¸iile reziduu au mai mult de o variabil˘a, expresia final˘a se mai poate reduce prin
prelucr˘ari analitice.
5.2 Pentru cei ce vor doar s˘a promoveze examenul
1. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii de 3 intr˘ari, utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C) =
∑
(0, 2, 3, 4, 6)
b) F
b
(A, B, C) =
∑
(3, 5, 6, 7)
c) F
c
(A, B, C) =
∑
(0, 1, 5, 7)
2. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii de 4 intr˘ari, utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C, D) =
∑
(1, 5, 9, 15)
b) F
b
(A, B, C , D) =
∑
(1, 3, 9, 11, 12, 13, 14, 15)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15)
3. S˘a se simplifice expresiile utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
= X · Z + Y · Z + X · Y · Z
b) F
b
= A · B + B · C + A · B · C
c) F
c
= A · B + A · C + B · C + A · B · C
4. S˘a se simplifice funct¸iile incomplet definite, utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C, D) =
∑
(1, 3, 5, 7, 9, 15) + d(4, 6, 12, 13)
b) F
b
(A, B, C) =
∑
(3, 5, 6) + d(0, 7)
62 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
5.3 Pentru cei ce vor s˘a ˆınvet¸e
1. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C) =
∑
7
0
(0, 2, 3, 4, 5, 7)
b) F
b
(A, B, C , D) =
∑
15
0
(0, 1, 4, 5, 9, 11, 13, 15)
c) F
c
(A, B, C, D, E) =
∑
31
0
(0, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 24, 28)
Solut¸ie
Diagramele V-K asociate funct¸iilor sunt prezentate ˆın figura 5.2.
F
a
F
b
F
c
Figura 5.2 Diagrame V-K pentru problema 1.
a) F
a
(A, B, C) =
∑
7
0
(0, 2, 3, 4, 5, 7) = B · C + A · C + A · B
b) F
b
(A, B, C , D) =
∑
15
0
(0, 1, 4, 5, 9, 11, 13, 15) = A · C + A · D
c) F
c
(A, B, C, D, E) =
∑
31
0
(0, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 24, 28) = A · B + D · E
2. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii de 3 intr˘ari, utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C) =
∑
(0, 2, 6, 7)
b) F
b
(A, B, C) =
∑
(0, 1, 2, 3, 7)
c) F
c
(A, B, C) =
∑
(1, 2, 3, 6, 7)
d) F
d
(A, B, C) =
∑
(3, 4, 7)
e) F
e
(A, B, C) =
∑
(1, 3, 5, 6, 7)
f) F
f
(A, B, C) =
∑
(1, 3, 6, 7)
g) F
g
(A, B, C) =
∑
(3, 5, 6, 7)
h) F
h
(A, B, C) =
∑
(0, 1, 2, 4, 6)
i) F
i
(A, B, C) =
∑
(0, 3, 4, 5, 7)
j) F
j
(A, B, C) =
∏
(0, 1, 6, 7)
k) F
k
(A, B, C) =
∏
(0, 2, 4, 5, 6)
l) F
l
(A, B, C) =
∏
(1, 3, 4, 5, 7)
Solut¸ie
Diagramele V-K asociate funct¸iilor sunt prezentate ˆın figura 5.3.
a) F
a
(A, B, C) =
∑
(0, 2, 6, 7) = A · C + A · B
b)
F
b
(
A, B, C
) =
∑
(0
,
1
,
2
,
3
,
7) = A
+
B
·
C
f) F
f
=
∑
(1, 3, 6, 7) = A · C + A · B
g) F
g
=
∑
(3, 5, 6, 7) = B · C + A · C + A · B
3. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii de 4 intr˘ari, utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C, D) =
∑
(6, 7, 8, 10, 12, 14)
b) F
b
(A, B, C , D) =
∑
(1, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∏
(2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15)
d) F
d
(A, B, C, D) =
∑
(1, 5, 9, 12, 13, 15)
e) F
e
(A, B, C, D) =
∑
(1, 4, 5, 6, 12, 14, 15)
f) F
f
(A, B, C , D) =
∑
(0, 1, 2, 4, 5, 7, 11, 15)
g) F
g
(A, B, C , D) =
∑
(2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
5.3. Pentru cei ce vor s˘a ˆınvet¸e 63
F
a
F
b
F
f
F
g
Figura 5.3 Diagrame V-K cu 8 c˘asut¸e, pentru problema 2.
h) F
h
(A, B, C , D) =
∑
(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 15)
i) F
i
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 5, 8, 9, 11, 12, 13)
j) F
j
(A, B, C, D) =
∑
(3, 4, 6, 7, 9, 12, 13, 14, 15)
k) F
k
(A, B, C, D) =
∑
(1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15)
l) F
l
(A, B, C, D) =
∑
(1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12)
m) F
m
(A, B, C , D) =
∑
(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15)
n) F
n
(A, B, C, D) =
∏
(0, 1, 4, 5, 9, 10)
o) F
o
(A, B, C, D) =
∏
(0, 3, 4, 6, 7, 11, 15)
p) F
p
(A, B, C, D) =
∏
(0, 1, 3, 4, 5, 12, 13)
Solut¸ie
Diagramele V-K asociate funct¸iilor sunt prezentate ˆın figura 5.4.
F
a
F
b
F
c
F
d
F
e
F
h
Figura 5.4 Diagrame V-K cu 16 c˘asut¸e, pentru problema 3.
64 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
a) F
a
(A, B, C, D) = A · B · C + A · D + B · C · D = A · B · C + A · D
b) F
b
(A, B, C , D) =
∑
(1, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14) = B · D + B · D + C · D sau
F
b
(A, B, C , D) = B · D + B · D + B · C
c) F
c
(A, B, C, D) =
∏
(2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15) =
∑
(0, 1, 5, 9, 13, 14) = C · D + A · B · C + A · B · C · D
d) F
d
=
∑
(1, 5, 9, 12, 13, 15) = C · D + A · B · C + A · B · D
e) F
e
=
∑
(1, 4, 5, 6, 12, 14, 15) = B · D + A · C · D + A · B · C
h) F
h
=
∑
(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 15) = B · D + A · D + B · D sau
F
h
= B · D + A · B + B · D
4. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii de 5 intr˘ari, utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C, D, E) =
∏
(0, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 26, 27)
b) F
b
(A, B, C , D , E) =
∑
(0, 2, 8, 10, 16, 18, 24, 26)
c) F
c
(A, B, C, D, E) =
∑
(0, 1, 4, 5, 16, 17, 21, 25, 29)
5. S˘a se identifice implicant¸ii primi esent¸iali pentru urm˘atoarele expresii:
a) F
a
(A, B, C, D) =
∑
(1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15)
b) F
b
(A, B, C , D , E) =
∑
(5, 7, 9, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 25, 29, 31)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15)
d) F
d
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15)
e) F
e
(A, B, C, D) =
∑
(1, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
f) F
f
(A, B, C , D) =
∑
(0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 15)
g) F
g
(A, B, C , D) =
∑
(0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15)
h) F
h
(A, B, C, D) =
∑
(1, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
Solut¸ie
a) F
a
: A · B, C · D,B · D
b) F
b
: A · B · C, A · B · C, C · E, B · D · E
6. S˘a se simplifice expresiile utilizˆand diagrame V-K.
a) F
a
= A · B + A · B · C + A · B · C
b) F
b
= A · B + B · C + B · C
c) F
c
= A · B + B · C + A · B · C
d) F
d
= X · Y + X · Z + X · Y · Z
e) F
e
= X · Z + W · X · Y + W · X · Y + W · Y · Z + W · Y · Z
f) F
f
= B · D + A · B · D + A · B · C
g) F
g
= A · B · C · D + A · C · D + B · C · D + A · B · C · D + B · C · D
h) F
h
= A · B · C + B · C · D + B · C · D + A · C · D + A · B · C + A · B · C · D
i) F
i
= A · B · C · E + A · B · C · D + B · D · E + B · C · D + C · D · E + B · D · E
Solut¸ie
Suprafet¸ele asociate ”produselor” se plaseaz˘a ˆın diagramele V-K. Apoi se minimizeaz˘a funct¸iile prin acoperirea
c˘asut¸elor cu 1 cu un num˘ar minim de suprafet¸e, cˆat mai mari. Diagramele V-K asociate funct¸iilor sunt prezentate
ˆın figura 5.5.
F
a
F
b
F
c
Figura 5.5 Diagrame V-K pentru problema 6.
a) F
a
= A · B + A · C
b) F
b
= C + A · B
c) F
c
= B · C + A
7. S˘a se simplifice funct¸iile sub forma de produs de sume, utilizˆand diagrame V-K.
a) F
a
(A, B, C, D) =
∑
(0, 1, 2, 6, 8, 9, 10, 13)
b) F
b
(A, B, C , D) =
∏
(1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14)
5.3. Pentru cei ce vor s˘a ˆınvet¸e 65
Solut¸ie
a) Funct¸ia ˆın forma canonic˘a conjunctiv˘a (sum˘a de produse) cont¸ine indec¸sii mintermilor (produse ce cont¸in
toate variabilele de intrare, negate ¸si ne-negate). Dac˘a ˆıntr-un minterm variabila este negat˘a, se consider˘a c˘asut¸a
cu index egal cu 0, dac˘a variabila este ne-negat˘a, atunci se consider˘a c˘asut¸a cu index egal cu 1. De exemplu
m
6
= A · B · C · D cont¸ine 1 ˆın c˘asut¸a cu index 6|
10
= 0110|
2
.
Simplificarea funct¸iilor sub forma de produs de sume presupune minimizarea suprafet¸elor c˘asut¸elor ce cont¸in 0
(nu cont¸in 1). Diagrama V-K asociat˘a este prezentat˘a ˆın figura 5.6-a. Rezult˘a forma minim˘a a funct¸iei:
F
a
= I · II · III · IV = (C + D ) · (B + C + D) · (A + B + C) · (A + B + C)
F
a
F
b
Figura 5.6 Diagrame V-K pentru problema 7.
b) Funct¸ia ˆın forma canonic˘a disjunctiv˘a (produs de sume) cont¸ine indec¸sii maxtermilor (sume ce cont¸in toate
variabilele de intrare, negate ¸si ne-negate). Dac˘a ˆıntr-un maxterm variabila este negat˘a, se consider˘a c˘asut¸a
cu index egal cu 1, dac˘a variabila este ne-negat˘a, atunci se consider˘a c˘asut¸a cu index egal cu 0. De exemplu
m
9
= A + B + C + D cont¸ine 0 ˆın c˘asut¸a cu index 9|
10
= 1001|
2
.
Simplificarea funct¸iilor sub forma de produs de sume presupune minimizarea suprafet¸elor c˘asut¸elor ce cont¸in 0
(nu cont¸in 1). Diagrama V-K asociat˘a este prezentat˘a ˆın figura 5.6-b. Rezult˘a forma minim˘a a funct¸iei:
F
b
= I · II · III · IV = (A + D) · (B + C + D) · (A + C + D) · (B + D)
8. S˘a se simplifice funct¸iile atˆat sub forma de sum˘a de produse cˆat ¸si sub forma de produs de sume, utilizˆand
diagrame V-K. S-au notat cu d (Engl. ”don’t care”) termenii indiferent¸i.
a) F
a
= A · C + B · D + A · C · D + A · B · C · D
b) F
b
= (A + B + D) · (A + B + C) · (A + B + D) · (B + C + D)
c) F
c
= (A + B + D) · (A + D) · (A + B + D) · (A + B + C + D)
d) F
d
=
∑
(2, 3, 7, 8, 10, 12, 13)
e) F
e
=
∏
(2, 10, 13)
f) F
f
=
∑
(2, 6, 11, 13) + d(4, 5, 7, 9, 10, 15)
g) F
g
=
∏
(1, 3, 4, 6, 9, 11) + d(0, 2, 5, 10, 12, 14)
Solut¸ie
a)
ˆ
In figura 5.7-a este reprezentat˘a diagrama V-K asociat˘a funct¸iei F
a
, dedus˘a din expresia ˆın care a fost prezen-
tat˘a funct¸ia. Fiecare produs este asociat unei suprafet¸e ˆın diagrama V-K.
Produsele A · C ¸si B · D sunt asociate unor suprafet¸e de cˆate 4 c˘asut¸e deoarece din produse lipsesc dou˘a variabile
(2
2
= 4).
Produsul A·C ·D este asociat unei suprafet¸e de 2 c˘asut¸e deoarece din produs lipse¸ste o singur˘a variabil˘a (2
1
= 2).
Produsul A · B · C · D este asociat unei suprafet¸e de a c˘asut¸˘a deoarece ˆın produs sunt prezente toate variabilele
de intrare, adic˘a nu lipse¸ste nicuna (2
0
= 1).
Forma de sum˘a de produse se obt¸ine prin minimizarea suprafet¸elor cu c˘asut¸e 1, a¸sa ca ˆın figura 5.7-b.
F
a
= A · C + B · D + C · D
Forma de produs de sume se obt¸ine prin minimizarea suprafet¸elor cu c˘asut¸e 0, a¸sa ca ˆın figura 5.7-c.
F
a
= (C + D) · (A + D) · (A + B + D)
9. Scriet¸i urm˘atoarele funct¸ii sub form˘a de produs de sume ale variabilelor de intrare.
a) F
a
(A, B) =
∏
(0, 2, 3)
66 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
a) b) c)
Figura 5.7 Diagrame V-K pentru problema 8, a) forma original˘a, b) minimizare de 1, c) minimizare de 0.
b) F
b
(A, B, C) =
∏
(1, 3, 4, 6, 7)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∏
(2, 3, 4, 5, 13, 14)
d) F
d
(A, B, C, D, E) =
∏
(1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 26)
Solut¸ie
a) F
a
(A, B) =
∏
(0, 2, 3) = (A + B) · (A + B) · (A + C)
b) F
b
(A, B, C) =
∏
(1, 3, 4, 6, 7) = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∏
(2, 3, 4, 5, 13, 14) = (A + B + C + D) · (A + B + C + B) · (A + B + C + D)·
·(A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D)
10. Transpunet¸i ˆın diagram˘a V-K funct¸iile urm˘atoare. Determinat¸i forma minim˘a de sum˘a de pro duse. Pentru
acelea¸si funct¸ii, determinat¸i forma minim˘a de produs de sume.
a) F
a
(A, B) =
∑
(0, 1, 2)
b) F
b
(A, B) =
∑
(0, 2, 3)
c) F
c
(A, B) =
∑
(0, 1, 3)
d) F
d
(A, B) =
∏
(2)
Solut¸ie
a) F (A, B) =
∑
(0, 1, 2) = A + B, form˘a identic˘a pentru reprezentarea SOP ¸si POS.
b) F (A, B) =
∑
(0, 2, 3) = A + B, form˘a identic˘a pentru reprezentarea SOP ¸si POS.
11. S˘a se simplifice funct¸iile incomplet definite, utilizˆand diagrame V-K.
a) F
a
(A, B, C) =
∑
(0, 1, 2, 4, 5) + d(3, 6, 7)
b) F
b
(A, B, C) =
∑
(4, 6, 7) + d(2, 3, 5)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∑
(0, 6, 8, 13, 14) + d(2, 4, 10)
d) F
d
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 4, 5, 8, 14, 15) + d(7, 10, 13)
e) F
e
(A, B, C, D) =
∑
(4, 6, 7, 8, 12, 15) + d(2, 3, 5, 10, 11, 14)
f) F
f
(A, B, C, D) =
∑
(1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14) + d(7)
Solut¸ie
Funct¸iile incomplet specificate cont¸in, pe lˆang˘a valorile 0 ¸si 1, ¸si valori indiferente. Valorile indiferente p ot fi
considerate atˆat 0 cˆat ¸si 1, f˘ar˘a a influent¸a funct¸ionarea logicii. Termenii produs care sunt indiferent¸i, notat¸i cu
d pot fi considerat¸i ˆın diagrama V-K fie de valoare 0, fie de valoare 1. Se va alege valoarea logic˘a ce va determina
implicant¸i primi cu o exprimare minim˘a.
ˆ
In diagrama V-K, aceasta ˆınseamn˘a definirea unor suprafet¸e cˆat mai
mari ¸si cˆat mai put¸ine pentru a acoperi c˘asut¸ele cu 1.
Diagramele V-K sunt prezentate ˆın figura 5.8.
a) F
a
(A, B, C) = 1
b) F
b
(A, B, C) = A
c) F
c
(A, B, C, D) = B · D + C · D + A · B · C · D
5.3. Pentru cei ce vor s˘a ˆınvet¸e 67
a) b) c)
Figura 5.8 Diagrame V-K pentru problema 11.
12. S˘a se minimizeze urm˘atoarele funct¸ii incomplet definite utilizˆand diagrame V-K:
a) F
a
(A, B, C, D) =
∑
(2, 3, 4, 5, 13, 15) + d(8, 9, 10, 11)
b) F
b
(A, B, C , D) =
∑
(1, 5, 7, 9, 13, 15) + d(8, 10, 11, 14)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 4, 8, 10, 14) + d(5, 6, 7, 12)
d) F
d
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13) + d(1, 9, 11)
e) F
e
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 5, 7, 8, 10) + d(12, 13)
f) F
f
(A, B, C, D, E) =
∑
(1, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 20, 22, 25, 27, 28, 30) + d(8, 10, 24, 26)
g) F
g
(A, B, C , D) =
∑
(0, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14) + d(7)
Solut¸ie
a) F
a
= B · C + A · D + A · B · C
b) F
b
= C · D + B · D
c) F
c
= D
d) F
d
= C · E + C · E
13. Transpunet¸i ˆın diagrame V-K urm˘atoarele funct¸ii (X=indiferent):
a) F
a
(A, B, C) = A · B · C + A · B · C
b) F
b
(A, B, C) = A · B · C + A · B · C + A · B · C · X
c) F
c
(A, B, C) = A · B + A · B · C + A · B · C · X + A · B · C · X
d) F
d
(A, B, C) = A · B · C + A · B · C + A · B · C · X + A · B · C · X
e) F
e
(A, B, C, D) = B · C · D + B · C · D + A · C · D + A · B · D · X
f) F
f
(A, B, C, D) = A · B · D + A · C · D + A · C · D · X
g) F
g
(A, B, C , D) = A · B · C + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · X + A · B · C · X
h) F
h
(A, B, C , D , E) = B · E + B · C · D · E + A · C · D · E · X + A · B · C · D · E + A · B · C · D · E
i) F
i
(A, B, C, D, E) = A · D · E + A · D · E + A · B · C · D · E + A · C · D · E + A · B · D
S˘a se minimizeze funct¸iile.
Solut¸ie
Implicat¸ii primi care apar ˆın conjunct¸ie cu valorile indiferente (marcate cu X) vor genera suprafet¸e formate din
c˘asut¸e cu valoare indiferent˘a.
ˆ
In algoritmul minimiz˘arii, acestea se vor considera 0 sau 1 astfel ˆıncˆat s˘a determine
acoperirea c˘asut¸elor cu 1 cu un num˘ar cˆat mai mic de suprafet¸e ¸si de dimensiuni cˆat mai mari.
a) F
a
(A, B, C) = A · B
b) F
b
(A, B, C) = A · B · C + B · C
c) F
c
(A, B, C) = A · B + A · B · C
14. Scriet¸i urm˘atoarele funct¸ii sub form˘a de sum˘a de produse ale variabilelor de intrare. Scriet¸i acelea¸si funct¸ii
exprimate cu o variabil˘a reziduu. Determinat¸i pentru acelea¸si funct¸ii formele de produs de sume.
a) F
a
(A, B) =
∑
(1, 2, 3)
b) F
b
(A, B, C) =
∑
(1, 5, 6, 7)
c) F
c
(A, B, C, D) =
∑
(1, 2, 13, 14)
d) F
d
(A, B, C, D, E) =
∑
(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24)
e) F
e
(A, B, C, D, E) = m
0
+ m
5
+ m
25
f) F
f
(A, B, C, D, E, G) = m
30
+ m
40
+ m
50
+ m
60
68 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
g) F
g
(A, B, C , D , E, G, H) = m
0
+ m
15
+ m
25
+ m
35
+ m
55
+ m
75
+ m
125
Solut¸ie
c) F
c
(A, B, C, D) =
∑
(1, 2, 13, 14) = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D =
A · (B · C · D + B · C · D) + A · (B · C · D + B · C · D) = A ·
∑
(1, 2) + A ·
∑
(5, 6),
unde mintermul este asociat variabilelor m
i
(B, C, D).
F
c
(A, B, C , D) =
∏
(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15) = (A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D)·
·(A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) ·
(A + B + C + D) · (A + B + C + D) · (A + B + C + D) =
= (A + (B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D))·
·(A + (B + C + D) · ( B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D) · (B + C + D)) =
= (A +
∏
(0, 3, 4, 5, 6, 7)) · (A +
∏
(0, 1, 2, 3, 4, 7)),
unde maxtermul este asociat variabilelor M
i
(B, C, D).
15. S˘a se simplifice expresiile ¸si s˘a se implementeze cu port¸i NAND ¸si apoi cu port¸i NOR pe dou˘a nivele:
a) W · X + W · X · Z + W · Y · Z + W · X · Y + W · X · Z
b) X · Z + X · Y · Z + W · X · Y
c) (A · B + A · B) · (C · D + C · D)
d) W · (X + Y + Z) + X · Y · Z
e) (A · B + C · D) · B + B · D · (A + B)
f) A · B · C + A · C + A · C · D
g) W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z + W · X · Y · Z
h)
∑
(0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 12)
i)
∑
(5, 6, 9, 10)
Solut¸ie
a) Diagrama V-K a funct¸iei originale ¸si diagramele V-K dup˘a minimizarea zonelor de 1 ¸si de 0 sunt prezentate
ˆın figurile 5.9-a. Expresiile minime sunt:
W + X · Y + Y · Z = (X + Y ) · (W + X + Z)
Structurile de implementare sunt prezentate ˆın figurile 5.9-a.
b) Diagrama V-K a funct¸iei originale ¸si diagramele V-K dup˘a minimizarea zonelor de 1 ¸si de 0 sunt prezentate
ˆın figurile 5.9-b. Expresiile minime sunt:
X · Z + X · Y + W · X · Y = (W + X) · (X + Y ) · (X + Y + Z)
Structurile de implementare sunt prezentate ˆın figurile 5.9-b.
16. S˘a se transpun˘a diagramele V-K prezentate ˆın figura 5.10 sub forma unor diagrame condensate, introducˆand o
variabil˘a reziduu ¸si ˆınjum˘at˘at¸ind dimensiunea diagramei.
Solut¸ie
ˆ
Injum˘at˘at¸irea diagramei V-K cu includerea unei variabile ˆın diagram˘a se face prin gruparea seturilor de dou˘a
c˘asut¸e adiacente ˆın una singur˘a. Cont¸inutul c˘asut¸ei ˆın diagrama ˆınjum˘at˘at¸it˘a se determin˘a prin compararea
valorilor ˆınscrise ˆın cele dou˘a c˘asut¸e cu valoarea variabilei reziduu pentru acelea¸si c˘asut¸e.
a) Alternativa cu variabil˘a reziduu C este prezentat˘a ˆın figurile 5.11 a)-C.
Alternativa cu variabil˘a reziduu A este prezentat˘a ˆın figurile 5.11 a)-A.
c) Alternativa cu variabil˘a reziduu D este prezentat˘a ˆın figurile 5.11 c)-D.
Alternativa cu variabil˘a reziduu B este prezentat˘a ˆın figurile 5.11 c)-B.
5.4 Pentru cei ce vor s˘a devin˘a profesioni¸sti
1. Pentru funct¸iile reprezentate ˆın diagramele V-K din figura 5.12, cu variabile reziduu ¸si incomplet definite, s˘a se
scrie forma minim˘a.
Solut¸ie
Aplicˆand metodologia descris˘a la not¸iunile teoretice ale lect¸iei, se obt¸in implicant¸ii primi ment¸ionat¸i ˆın tabel.
5.4. Pentru cei ce vor s˘a devin˘a profesioni¸sti 69
a)
b)
Figura 5.9 Diagrame V-K ¸si structuri de implementare pentru problema 15-a) ¸si b).
Funct¸ia Etapa Etapa Etapa
ˆıntˆai a doua a treia (forma minim˘a)
F
a
A · B B · C A · B + B · C
F
b
− A · C A · C
F
c
A · B A · B · C A · B + A · B · C
F
d
A B · C + B · D A + B · C + B · D
F
e
B A · D sau C · D B + A · D sau B + C · D
F
f
C + A · B B · E + A · D C + A · B + B · E + A · D
F
g
A · C + B A · C · D A · C + B + A · C · D
F
h
B · C C · D · E + A · B · F B · C + C · D · E + A · B · F
F
i
A · D B · C · E + A · C · E A · D + B · C · E + A · C · E
F
j
A · C B · D · E + C · D · F A · C + B · D · E + C · D · F
2. Implementat¸i urm˘atoarea funct¸ie exclusiv cu p ort¸i NAND cu dou˘a intr˘ari: (A · B + A · B) · (C · D + C · D)
Solut¸ie
Se aplic˘a distributivitatea ¸si se ajunge la reprezentarea funct¸iei ˆın form˘a canonic˘a conjunctiv˘a. Se construie¸ste
diagrama V-K ¸si se minimizeaz˘a funct¸ia. Se determin˘a faptul c˘a, ˆın acest caz, forma minim˘a este identic˘a cu
forma canonic˘a conjunctiv˘a. Structura prezint˘a 4 port¸i NAND de 4 intr˘ari pe primul nivel logic ¸si o poart˘a
NAND cu 4 intr˘ari pe al doilea nivel logic (plus nivelul de inversoare pe fiecare variabil˘a de intrare).
70 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
a) b)
c) d)
Figura 5.10
ˆ
Injum˘at˘at¸irea diagramelor V-K prin introducerea unei variabile reziduu (problema 16).
a)-C a)-A
c)-D c)-B
Figura 5.11
ˆ
Injum˘at˘at¸irea diagramelor V-K prin introducerea unei variabile reziduu (problema 16).
3. Utilizˆand diagrame V-K s˘a se minimizeze funct¸ile exprimate cu variabile reziduu:
a) F
a
(A, B, C) =
∑
(0, 1 · C, 2), unde mintermul este m(A, B)
b) F
b
(A, B, C) =
∑
(1, 2 · C, 3 · C) + d(0), unde mintermul este m(A, B)
c) F
c
(A, B, C) =
∑
(0 · C, 3) + d(1), unde mintermul este m(A, B)
d) F
d
(A, B, C, D) =
∑
(0, 1 · (C + D), 3 · C), unde mintermul este m(A, B)
e) F
e
(A, B, C, D) =
∑
(0 · C, 2 · C, 3), unde mintermul este m(A, B)
f) F
f
(A, B, C, D) =
∑
(0 · C · D, 1, 2 · D) + d(3), unde mintermul este m(A, B)
g) F
g
(A, B, C , D) =
∑
(0, 2 · D, 4 · D, 6), unde mintermul este m(A, B, C)
h) F
h
(A, B, C , D) =
∑
(2, 4, 5, 7 · D) +
∑
(6), unde mintermul este m(A, B, C)
i) F
i
(A, B, C, D, E) =
∑
(2 · D · E, 7 · E) + d(4, 6), unde mintermul este m(A, B, C)
j) F
j
(A, B, C, D, E, G) =
∑
(0 · D, 1, 3 · E, 6 · G), unde mintermul este m(A, B, C)
k) F
k
(A, B, C, D, E, G) =
∑
(2 · (E + G), 4, 5, 9 · G, 10 · G, 11 · G, 15) + d(14), unde mintermul este m(A, B, C, D)
Solut¸ie
Diagramele V-K utilizate pentru minimizare sunt prezentate ˆın figura 5.13. (a) diagrama funct¸iei, b) diagrama
c˘asut¸elor 1, c), d) diagrame cu variabil˘a reziduu).
ˆ
In diagramele funct¸iei sunt prezentate c˘asut¸ele cu valoare 1, ”-”
(indiferente) sau cu variabile reziduu.
ˆ
In diagramele c˘asut¸elor 1, c˘asut¸ele cu funct¸ii reziduu sunt considerate cu 0.
5.4. Pentru cei ce vor s˘a devin˘a profesioni¸sti 71
F
a
F
b
F
c
F
d
F
e
F
f
F
g
F
h
F
i
F
j
Figura 5.12 Diagrame V-K cu variabile reziduu, incomplet definite, referite la problema 1.
ˆ
In diagramele funct¸iilor reziduu, c˘asut¸ele cu 1 sunt considerate ”-”, iar funct¸iile reziduu sunt considerate una cˆate
una. Implicant¸ii primi rezultat¸i din minimizare se consider˘a ˆın conjunct¸ie cu variabila reziduu corespunz˘atoare.
ˆ
In final, expresia obt¸inut˘a mai poate fi minimizat˘a analitic.
a) F
a
(A, B, C) = B + A · C
b) F
b
(A, B, C) = A + B · C + B · C
c) F
c
(A, B, C) = B + A · C
d) F
d
(A, B, C, D) = A · B + A · B · (C + D) + A · B · C = A · B + A · B · C + A · B · D + A · B · C =
= A · (B + B · D) + (A + A) · B · C = A · (B + D) + B · C = A · B + A · D + B · C
4. Se consider˘a funct¸ia de 7 variabile:
Y (A, B, C, D, E, F, G) =
∑
(2 · G, 3, 4 · E · F, 5 · E · F, 6 · G, 7, 9, 10, 12 · E, 13) + d(0, 11, 15) unde minterm-ul este
m(A, B, C , D). S˘a se transpun˘a funct¸ia ˆıntr-o diagrama V-K cu 4 variablile (cele asociate minterm-ului). S˘a se
minimizeze funct¸ia cu varibile reziduu E, F ¸si G.
Solut¸ie
Diagrama V-K (figura 5.14-a) cont¸ine 1 ˆın c˘asut¸ele ale c˘aror indec¸si sunt listat¸i independent ˆın expresia funct¸iei
(3, 7, 9, 10, 13), X ˆın c˘asut¸ele asociate termenilor indiferent¸i (0, 11, 15) ¸si expresiile reziduu, pe baza altor variabile
(E,F,G) acolo unde mintermii apar ˆın conjunct¸ie cu acestea (2 ¸si 6 cu G, 4 ¸si 5 cu E · F , 12 cu E). Minimizarea
impune, ˆın prim˘a faz˘a, minimizarea c˘asut¸elor avˆand valoarea 1 ¸si a celor indiferente (figura 5.14-b). Se definesc
suprafet¸ele I, II, III corespunz˘atoare implicant¸ilor primi: I = C · D, II = A · D, III = A · B · C. Apoi, fiecare
expresie reziduu se consider˘a separat, ˆımpreun˘a cu toate c˘asut¸ele indiferente, provenite din cele indiferente ¸si
cele cu 1 (minimizate ˆın prima faz˘a). Diagramele asociate funct¸iilor reziduu sunt prezentate ˆın figurile 5.14-c,d,e.
Rezult˘a implicant¸ii primi: IV = A · C, V = A · B · C, V I = A · B · C.
Implicant¸ii primi rezultat¸i prin minimizarea suprafet¸elor cu variabile reziduu se consider˘a ˆın conjunct¸ie cu
funct¸iile reziduu. Rezult˘a urm˘atoarea form˘a minim˘a a funct¸iei:
Y = C · D + A · D + A · B · C + A · C · G + A · B · C · E · F + A · B · C · E.
72 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
F
a
a) b) c)
F
b
a) b) c) d)
F
c
a) b) c)
F
d
a) b) c)
d)
Figura 5.13 Diagrame V-K cu variabile reziduu, asociate funct¸iilor referite la problema 3.
5. Minimizat¸i corelat funct¸iile:
a) F
1
(A, B, C) =
∑
(0, 2, 4, 6, 7) ¸si F
2
(A, B, C) =
∑
(2, 6, 7)
b) F
1
(A, B, C) =
∑
(1, 3, 4, 7) ¸si F
2
(A, B, C) =
∑
(3, 4, 6, 7)
c) F
1
(A, B, C) =
∑
(1, 2, 4, 6), F
2
(A, B, C) =
∑
(0, 1, 2, 6, 7) ¸si F
3
(A, B, C) =
∑
(1, 2, 6)
d) F
1
(A, B, C , D) =
∑
(4, 5, 6, 7, 9, 14) ¸si F
2
(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 9, 14)
e) F
1
(A, B, C, D) =
∑
(0, 2, 7, 8, 10, 15) ¸si F
2
(A, B, C, D) =
∑
(7, 9, 11, 13, 15)
Solut¸ie
Funct¸iile cu ie¸siri multiple (dependente de acelea¸si variabile de intrare) nu se minimizeaz˘a independent, ci corelat.
Motivul ˆıl constituie posibilitatea reutiliz˘arii unor termeni pro dus pentru realizarea mai multor funct¸ii, cu un
cost mai redus.
d) Minimizarea independent˘a a funct¸iilor (figura 5.15-a) determin˘a expresiile:
F
1
(A, B, C , D) = I + II + III = A · B + A · B · C · D + B · C · D
F
2
(A, B, C , D) = IV + V + V I = A · B + A · B · C · D + B · C · D
Minimizarea corelat˘a a funct¸iilor (figura 5.15-b) se bazeaz˘a pe observat¸ia c˘a suprafet¸ele de o c˘asut¸˘a oricum
trebuie considerate (pentru c˘a reprezint˘a implicant¸i primi esent¸iali ˆın cˆate una din funct¸ii) ¸si pot fi refolosite
pentru cealalt˘a funct¸ie, nemaifiind necesar˘a ˆınc˘a o suprafat¸˘a adit¸ional˘a. Expresiile funct¸iilor sunt:
F
1
(A, B, C , D) = I + II + III = A · B + A · B · C · D + A · B · C · D
F
2
(A, B, C , D) = II + III + IV = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B
Implement˘arile asociate celor dou˘a tipuri de minimiz˘ari (independente ¸si corelate) sunt prezentate ˆın figurile
5.16.
Compararea resurselor necesare este prezentat˘a ˆın tabel:
5.4. Pentru cei ce vor s˘a devin˘a profesioni¸sti 73
a) b)
c) d) e)
Figura 5.14 Diagrame V-K cu variabile reziduu, asociate funct¸iei referite la problema 4.
Minimizate independent Minimizate corelat
Port¸i logice Intr˘ari Port¸i logice Intr˘ari
2 × NANDx4 8 2 × NANDx4 8
4 × NANDx3 12 2 × NANDx3 6
2 × NANDx2 4 2 × NANDx2 4
4 × NOT 4 4 × NOT 4
Total: 12 port¸i 28 intr˘ari Total: 10 port¸i 22 intr˘ari
6. Minimizat¸i funct¸iile:
a) F
1
(A, B, C, D, E) =
∑
(3, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 27, 31)
b) F
2
(A, B, C , D , E) =
∑
(0, 4, 8, 9, 13, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 29)
c) F
3
(A, B, C, D, E, F ) =
∑
(0, 9, 13, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 31, 32, 45, 47, 52, 53, 54, 55, 59, 63)
d) F
4
(A, B, C , D , E, F ) =
∑
(0, 2, 4, 6, 16, 18, 20, 22, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 36, 38, 41, 48, 50, 52, 54, 57, 59, 61, 63)
Solut¸ie
Diagramele V-K ¸si definirea suprafet¸elor necesare minimiz˘arii sunt prezentate ˆın figura 5.17. Se obt¸in formele
minime:
a) F
1
(A, B, C, D, E) = I + II + III = D · E + A · B · E + A · B · C · D
b) F
2
(A, B, C, D, E) = I + II + III + IV + V = B · C · D + B · D · E + B · C · E + A · B · D · E + A · B · C · D
Se observ˘a c˘a exist˘a opt¸iunea ca ˆın loc de implicantul prim IV = A · B · D · E s˘a se considere implicantul
A · C · D · E (c˘asut¸ele (0, 8), c˘asut¸a 4 fiind deja acoperit˘a de suprafat¸a III).
c) F
3
(A, B, C, D, E, F ) = I + II + III = C · F + B · C · F + A · C · D · E · F
d) F
4
(A, B, C , D , E, F ) = I + II + III + IV + V + V I + V II = B · C · D + B · C · E · F + B · C · D · E · F +
+A · B · C · E · F + A · B · C · D · E + A · B · C · D · F + A · B · D · F
De ment¸ionat, c˘asut¸ele (13, 29, 21, 53) nu formeaz˘a o suprafat¸˘a (deoarece nu are dimensiuni puteri ale lui 2,
pe fiecare dimensiune, ˆın planuri suprapuse). Un implicant prim, dar ne-esent¸ial, este determinat de suprafat¸a
c˘asut¸elor (31, 23, 55, 63), de dimensiune 2 × 1 × 2, ˆın dou˘a planuri, dup˘a pliere pe orizontal˘a.
74 LECT¸ IA 5. Diagrame Veich-Karnaugh
a) F
1
F
2
b)F
1
F
2
Figura 5.15 Minimizarea corelat˘a a funct¸iilor (problema 5-d): a) funct¸ii minimizate independent, b) funct¸ii minimizate corelat.
a) b)
Figura 5.16 Implementarea funct¸iilor corelate (problema 5-d): a) minimizate independent, b) minimizate corelat.
5.4. Pentru cei ce vor s˘a devin˘a profesioni¸sti 75
F
1
F
2
F
3
F
4
Figura 5.17 Diagrame V-K pentru problema 6.